1. 동위각이란 무엇일까?
먼저 상황을 떠올려 봅시다.
종이에 평행한 두 직선을 그립니다. 예를 들어, 똑바로 가는 두 개의 철로를 생각하면 좋습니다. 그리고 그 두 철로를 가로질러 지나가는 또 하나의 직선을 그어 보세요. 그러면 총 세 개의 직선이 만나서 여러 개의 각이 만들어집니다. 이때 생기는 각들 중에는 서로 특별한 관계를 가진 각들이 있습니다.
그 중 하나가 동위각입니다.
동위각의 정의:
두 개의 평행한 직선을 가로지르는 한 직선이 만들어내는 각들 중, 서로 같은 방향과 같은 위치에 있는 각들을 말합니다.
조금 더 쉽게 말하면,
👉 두 철로를 가로지르는 선이 있을 때, 위쪽에서 만들어지는 각과 아래쪽에서 만들어지는 각을 비교해 보세요.
👉 각각의 위치를 잘 보면, 위쪽 왼편에 있는 각과 아래쪽 왼편에 있는 각이 똑같은 모양으로 자리하고 있습니다.
👉 이처럼 ‘위와 아래, 위치가 같은 각’을 동위각이라고 부릅니다.
2. 동위각의 성질: 왜 같을까?
평행선의 큰 특징은 서로 간격이 일정하고, 아무리 길게 그어도 절대로 만나지 않는다는 것입니다. 이 성질 때문에, 그 선들을 가로지르는 직선이 만들어내는 각들이 일정한 규칙을 갖게 됩니다.
▶ 성질
두 평행선을 가로지르는 직선이 있을 때, 서로 동위각을 이루는 두 각의 크기는 항상 같다.
이것이 바로 교과서에서 배우는 중요한 정리입니다.
3. 이해를 돕는 그림과 예시
(1) 예를 들어볼까요?
평행선 l과 m이 있습니다.
직선 n이 이 둘을 가로지릅니다.
l과 n이 만나는 지점에서 4개의 각이 생깁니다.
m와 n이 만나는 지점에서도 4개의 각이 생깁니다.
이제 위쪽 교차점에서 오른쪽 위 방향으로 생긴 각을 a라고 하고, 아래쪽 교차점에서 오른쪽 위 방향으로 생긴 각을 c라고 해 봅시다.
👉 이 a와 c가 바로 동위각이고, a의 크기 = c의 크기 입니다.
(2) 또 다른 예
위쪽 교차점에서 오른쪽 위 방향으로 생긴 각과,
아래쪽 교차점에서 오른쪽 위 방향으로 생긴 각 역시 동위각입니다.
이 역시 크기가 서로 같습니다.
4. 왜 크기가 같을까? (쉽게 이해하는 이유)
이 부분이 조금 어려울 수 있지만, 차근차근 따라와 볼게요.
평행선 l₁과 l₂를 가로지르는 직선 t를 그리면, 각각의 교차점에서 여러 각이 생깁니다.
위쪽 교차점에서 만들어진 한 각(A)와 맞은편에 있는 각은 ‘맞꼭지각’이라 하여 크기가 같습니다.
이제 위쪽 각을 아래쪽 각과 비교하려면, 한 번 더 생각해 봅니다. 평행선은 서로 간격이 일정하기 때문에, 한쪽 각을 평행선 방향으로 그대로 옮겨도 모양이 변하지 않습니다.
기하학적으로는 동위각의 성질은 평행선과 평행이동의 관계에서 자연스럽게 나옵니다. 즉, 한 선분을 평행하게 이동시켜도 각의 크기는 유지되기 때문에, 두 평행선 위의 각도 같아질 수밖에 없는 것이지요.
5. 교과서와 탈레스의 증명
이 성질은 고대 그리스 수학자 탈레스에 의해 이미 증명되었습니다. 탈레스는 “평행선 사이에 있는 두 각이 같은 크기를 가진다”는 사실을 도형을 이용해 설명했습니다.
탈레스는 삼각형의 닮음을 사용했습니다.
① 평행한 선을 가로지르는 직선을 그리고, 그 직선과 평행선이 만나는 점들을 잇습니다.
② 이렇게 만들어진 두 개의 삼각형을 살펴보면, 두 삼각형은 서로 닮음 관계에 있습니다.
③ 닮은 삼각형에서는 각의 크기가 모두 동일하므로, 위쪽 각과 아래쪽 각이 같다는 결론을 내린 것입니다.
6. 실생활에서의 동위각
동위각은 단순한 기하 개념을 넘어서 우리 주변에서도 자주 나타납니다.
-철도나 도로 설계: 두 평행 도로를 가로지르는 진입로의 각도를 계산할 때 동위각의 개념을 활용합니다.
-건축물 설계: 평행한 기둥을 따라 사선으로 설치하는 브레이스 구조물의 각도를 계산할 때 사용됩니다.
-교통 표지판과 교차로: 평행한 차선과 교차하는 진입선의 각도를 설계할 때도 동위각을 고려합니다.
7. 문제 풀이 예시
문제를 하나 풀어보면서 마무리해 보겠습니다.
문제: 평행한 두 직선 l₁, l₂를 직선 t가 가로지릅니다.
위쪽 교차점에서 생긴 한 각의 크기가 65°일 때, 그와 동위각을 이루는 아래쪽 각의 크기를 구하세요.
풀이: 동위각의 성질에 따라, 같은 위치에 있는 각은 크기가 같습니다.
따라서 아래쪽 교차점에서 같은 위치에 있는 각의 크기는 65°입니다.
정답: 65°
8. 정리
| 용어 | 의미 |
| 동위각 | 평행한 두 직선을 가로지르는 직선이 만들어내는, 같은 위치에 있는 각 |
| 성질 | 두 동위각의 크기는 항상 같다. |
| 이유 | 평행선의 성질과 닮음 관계(탈레스의 증명)로 인해 각도가 동일함 |
9. 한눈에 보기
정의: 평행한 두 직선을 다른 한 직선이 가로지를 때 생기는, 같은 위치에 있는 각
중요 성질: 동위각끼리는 크기가 서로 같다
활용: 도형 문제 풀이, 설계 각도 계산, 삼각형 닮음 증명 등