삼각형의 내각의 합에 대한 궁금증 (180도)
1. 삼각형의 내각의 합에 대한 궁금증
수학 시간에 삼각형을 그리다 보면 이런 궁금증이 생깁니다.
“삼각형의 안쪽 각(내각)들을 다 더하면 몇 도가 될까?”
자를 가져와서 임의의 삼각형을 그리고 각도를 재보면 놀라운 사실을 알게 됩니다.
아무렇게나 그린 삼각형인데도, 각도를 다 더하면 항상 180도가 됩니다.
하지만 단순히 각도기를 가지고 재어본 결과는 추측에 불과합니다.
수학에서는 반드시 논리적인 이유를 통해 증명해야만 합니다.
그렇다면 왜 항상 180도가 되는지, 논리적인 증명을 해보겠습니다.
2. 준비물과 기본 아이디어
삼각형의 내각의 합을 구하는 전통적인 증명법 중 하나가
“삼각형의 한 변과 평행한 직선을 꼭짓점 위에 그어, 평행선 사이의 엇각을 이용하는 방법”입니다.
먼저 용어를 간단히 정리해 볼게요.
내각: 삼각형 안쪽에 있는 각.
평행선: 한 직선과 다른 직선이 끝없이 뻗어나가도 절대 만나지 않는 두 직선.
엇각: 두 평행선을 하나의 직선이 가로지를 때 생기는 각 중 서로 엇갈린 위치에 있는 각.
이 아이디어를 실제로 적용해 보겠습니다.
3. 증명의 과정 – 평행선을 그어보자
삼각형 ABC를 그려봅시다.
우리가 구하고자 하는 것은 ∠A + ∠B + ∠C = 180도라는 사실입니다.
삼각형을 그린다.
아무런 조건도 필요 없습니다. 임의로 삼각형 ABC를 그립니다.
A, B, C 세 점이 있고, 이들을 잇는 변 AB, BC, CA가 있습니다.
한 꼭짓점을 정하고, 그 꼭짓점을 지나며 한 변과 평행한 직선을 긋는다.
여기서는 꼭짓점 A를 택하고, A를 지나면서 변 BC와 평행한 직선을 그어 봅니다.
이때 그은 직선을 l이라 해봅시다.
이제 그림 속에는 두 개의 평행선이 있습니다.
원래 삼각형의 한 변 BC
새로 그은 직선 l (A를 지나며 BC와 평행)
그리고 두 평행선을 각각 다른 직선들이 가로지르고 있습니다.
직선 AB가 평행선 l과 BC를 가로지르고
직선 AC가 평행선 l과 BC를 가로지릅니다.
엇각의 관계를 이용한다.
직선 AB와 BC가 만나는 각을 보면, BC 쪽에 있는 각과 l 쪽에 있는 각이 엇각이 됩니다.
평행선에서 생긴 엇각은 서로 크기가 같습니다.
따라서 ∠B(삼각형 안쪽의 B각)와, A에서 만들어지는 각 중 하나가 서로 같은 크기입니다.
마찬가지로 직선 AC와 BC가 만나는 각을 보면, ∠C(삼각형 안쪽의 C각)와, A에서 만들어지는 다른 쪽 각이 서로 같은 크기입니다.
A를 기준으로 일직선 각을 만든다.
A를 지나가는 직선 l 위에 만들어진 두 각(앞에서 찾은 두 엇각)은, 원래 A점에서의 내각(∠A)과 나란히 이어집니다.
결과적으로 A점 주변에는 이렇게 세 각이 연속으로 놓이게 됩니다.
첫 번째 각: ∠B에 해당하는 엇각
두 번째 각: ∠A 자체
세 번째 각: ∠C에 해당하는 엇각
이 세 각을 쭉 이어서 보면, 정확히 한 직선을 따라 이어지는 각이 됩니다.
4. 세 각의 합이 180도인 이유
한 직선 위에서 한쪽 방향으로 벌어지는 각은 항상 반직선과 반직선 사이의 각이므로, 그 크기는 180도입니다.
따라서 위에서 이어붙인 세 각의 합도 180도가 되어야만 합니다.
그런데 그 세 각은 각각 다음과 같은 각이었죠.
첫 번째 각: ∠B에 해당하는 엇각
두 번째 각: ∠A
세 번째 각: ∠C에 해당하는 엇각
엎각 관계에 의해 첫 번째 각은 ∠B와 같고, 세 번째 각은 ∠C와 같습니다.
따라서
∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180∘
∠A+∠B+∠C=180∘
임이 증명됩니다.
5. 증명의 핵심을 정리하면
삼각형 ABC에서 꼭짓점 A를 택하고, A를 지나면서 BC와 평행한 직선을 긋는다.
평행선 사이의 엇각 관계를 이용하여, A 주변에 ∠B와 ∠C와 같은 각이 하나씩 만들어진다.
A에서 만들어진 세 각(∠B, ∠A, ∠C)은 일직선 위에 늘어서 있기 때문에 합이 180도가 된다.
따라서 ∠A + ∠B + ∠C = 180도.
6. 더 깊이 생각해 보기
이 증명은 단순히 하나의 예일 뿐입니다.
삼각형의 세 내각의 합이 180도라는 사실은 유클리드 기하학의 기본 성질 중 하나입니다.
다만, 우리가 살고 있는 평면(유클리드 공간)에서만 성립합니다.
만약 구면(지구 표면과 같은 곡면) 위에 삼각형을 그리면, 세 내각의 합이 180도를 넘기도 합니다.
이런 이유로 위 증명은 “평면기하”라는 전제 위에서 성립한다는 점도 덧붙여두면 좋겠죠.
7. 학습 활동으로 응용하기
아이들과 수업에서 이 내용을 다룰 때는 다음과 같이 하면 이해가 더 잘됩니다.
직접 그려보기: 삼각형을 종이에 그리고 각도를 측정해 보기.
평행선 그리기: 삼각형의 한 꼭짓점을 지나면서 한 변과 평행한 선을 자와 삼각자를 이용해 그려보기.
엇각 표시하기: 엇각에 색을 입혀서 어떤 각이 서로 같은지 눈으로 확인하기.
직선 위 각도: 직선 위에 놓인 각을 보고 180도가 되는 이유를 다시 한번 생각해 보기.
8. 결론
삼각형의 세 내각의 합이 180도임을 증명하는 방법에는 여러 가지가 있지만,
삼각형의 한 변과 평행한 직선을 꼭짓점 위에 긋고, 두 평행선 사이의 엇각 관계를 이용하는 방법은 가장 직관적이고 많이 쓰이는 고전적인 방법입니다.
이 방법을 통해 우리는 이렇게 정리할 수 있습니다.
“어떤 삼각형이든, 세 내각을 더한 값은 항상 180도이다.”